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페아노 공리계(비교)
| r10 vs r11 | ||
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| 12 | 12 | 1. [math(\exists S \forall n(\N(n) \to \N(S(n))))] (모든 자연수 [math(n)]에 대해, 따름수(successor) [math(S(n))] 역시 자연수이게 하는 [math(S)]가 존재한다.) |
| 13 | 13 | 1. [math(\forall n(\N(n) \to \neg (S(n) = e)))] ([math(e)]는 그 어떤 자연수의 따름수도 아니다.) |
| 14 | 14 | 1. [math(\forall n \forall m (\N(n) \land \N(M) \to (S(n) = S(m) \iff n = m)))] ([math(S)]가 injective하다.) |
| 15 | 15 | 1. [math(\forall \phi((\phi(e) \land \forall n(\N(n) \to (\phi(n) \to \phi(S(n))))) \iff \forall n (\N(n) \to \phi(n))))] |
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| 17 | axiom of induction이라고도 불리는 5번 공리가 좀 족같은데, 보면 알겠지만 [math(\phi(x))]는 predicate고 [math(\forall \phi)]로 이에 대한 보편 양화를 규정하고 있으므로 이차논리이다. 다시 말해 FOL로 쓸 수 없다는 소리인데 물론 머리 잘 굴러가는 수학자들이 FOL 공리꼴로 표현할 수 있게 이미 수십년도 전에 조리 완료해 두었다. |
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| 19 | 다만 페아노가 1889년 처음 페아노 공리계를 발표했던 당시 사용된 방식이라 짚고 넘어가는 게 중요하다. 특히 [[수학적 귀납법]]이 성립하게 만드는 이유를 2차 논리로 써 두었을 뿐인 만큼 인간 기준에선 나름 직관적(?)인 정의이기도 하다. [math(\phi(x))]를 임의의 자연수 양화 명제로 바꿔서 생각해 보자.~~이해가 쏙쏙되잖아 리슝좍아~~ |